Evaluar la integral
\[ \int \csc^3(x) \; dx \]
Escribe el integrando \( \csc^3(x) \) como el producto \( \csc x \csc^2 x \)
\[ \int \csc^3(x) \; dx = \int \csc x \csc^2 x ; dx \]
Usa la integración por partes dada por: \( \int u' v \; dx = u v - \int u v' \; dx \).
Sea \( u' = \csc^2 x \) , \( v = \csc x \) y por lo tanto \( u = - \cot x \) , \( v' = -\csc x \cot x \)
y la integral puede escribirse como
\[ \int \csc^3(x) \; dx = (-\cot x)(\csc x) - \int ((- \cot x)(-\csc x \cot x)) \; dx\]
Simplifica lo anterior
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \cot^2 x \csc x \; dx\]
Usa la identidad trigonométrica \( \cot^2 x = \csc^2 x - 1 \) y escribe la integral como sigue
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int (\csc^2 x - 1) \csc x \; dx\]
Expande el integrando de la integral \( \displaystyle \int (\csc^2 x - 1) \csc x \; dx \)
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \csc^3 x \; dx + \int \csc x \; dx\]
Usa la común integral \( \displaystyle \int \csc x \; dx = \ln|\csc x - \cot x| \) y reescribe la integral como
\[ \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x - \int \csc^3 x \; dx + \ln|\csc x - \cot x| \]
Agrega \( \displaystyle \int \csc^3 x \; dx \) a ambos lados de lo anterior y simplifica para obtener
\[ 2 \int \csc^3(x) \; dx = - \cot x \csc x + \ln|\csc x - \cot x| \]
Multiplica todos los términos por \( \dfrac{1}{2} \) y simplifica para obtener la respuesta final como
\[ \boxed { \int \csc^3(x) \; dx = - \dfrac{1}{2} \cot x \csc x + \dfrac{1}{2} \ln|\csc x - \cot x| + c }\]
